Достаточные условия локального условного экстремума

Пусть $f(\mathbf{x})$ и $g_k(\mathbf{x})$, $k = \overline{1, n}$ дважды непрерывно дифференцируемы на $D$. Ранг матрицы $\begin{pmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial g_1}{\partial x_m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_n}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial g_n}{\partial x_m} \end{pmatrix}$ в точке $\mathbf{x}^0 \in D$ равен $n < m$, и $\mathbf{x}^0$ - стационарная точка функции $$L(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) - \sum_{k=1}^{n} \lambda_k g_k(\mathbf{x})$$ $$\Phi(d\mathbf{x}) = \Phi(dx_1, \dots, dx_m) = \sum_{k=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} L''_{x_k x_j}(\mathbf{x}^0) dx_k dx_j$$ - Если $\Phi(d\mathbf{x}) > 0$, то $\mathbf{x}^0$ - точка условного локального минимума. - Если $\Phi(d\mathbf{x}) < 0$, то $\mathbf{x}^0$ - точка условного локального максимума. - Если $\Phi(d\mathbf{x})$ знакопеременная, то $\mathbf{x}^0$ - не является экстремумом.

Пусть: $$\varphi_1(x_{n+1}, \dots, x_m), \dots, \varphi_n(x_{n+1}, \dots, x_m)$$ и $$h(x_{n+1}, \dots, x_m) = f(\varphi_1(x_{n+1}, \dots, x_m), \dots, \varphi_n(x_{n+1}, \dots, x_m), x_{n+1}, \dots, x_m)$$ из доказательства необходимых условий. Тогда: $$d^2 h(x_{n+1}, \dots, x_m) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} f''_{x_i x_j}(\mathbf{x}) dx_i dx_j + \sum_{j=1}^{m} f'_{x_j}(\mathbf{x}) d^2 x_j$$ $$\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial g_k}{\partial x_j}(\mathbf{x}) dx_j \equiv 0,~~ k = \overline{1, n} \implies$$ $$\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} \frac{\partial^2 g_k}{\partial x_j \partial x_i}(\mathbf{x}) dx_i dx_j + \sum_{j=1}^{m} \frac{\partial g_k}{\partial x_j}(\mathbf{x}) d^2 x_j = 0$$ Вспомним, что $L(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) - \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_k g_k(\mathbf{x})$ и к $d^{2}h$ прибавим все ${} \lambda_{k} d^{2}g_{k} {}$. Так как $d^{2}g_{k} = 0$, то $d^{2}h$ не изменится, но мы получим: $$ \begin{aligned} d^2 h(x_{n+1}^0, \dots, x_m^0) &= \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} (f - \lambda_{k}g)''_{x_{i}x_j}(\mathbf{x}^0) dx_i dx_j + \sum_{j=1}^{m} (f-\lambda_{k}g)'_{x_j}(\mathbf{x}^0) d^2 x_j \\ &= \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} L''_{x_i x_j}(\mathbf{x}^0) dx_i dx_j + \sum_{j=1}^{m} L'_{x_j}(\mathbf{x}^0) d^2 x_j \\ &= \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} L''_{x_i x_j}(\mathbf{x}^0) dx_i dx_j \end{aligned} $$ $\square$

Достаточно рассматривать только дифференциалы, удовлетворяющие уравнениям связи

$f(x, y) = xy,~~ x + y - 2 = 0$. $L(x, y) = xy - \lambda(x + y - 2)$. $$ \begin{cases} L'_{x} = y - \lambda = 0 \\ L'_{y} = x - \lambda = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} \implies (1, 1) \text{ - стационарная точка.} $$ $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},~~ A_1 = 0,~~ A_2 = -1 \text{ и достаточные условия не применимы.} $$ $dL(1, 1) = 0dx^2 + dxdy + dydx + 0dy^2$ $d(x + y - 2) = dx + dy = 0 \implies dL(1, 1) = -2dx^2 < 0,~~ dx \neq 0$. Значит $(1, 1)$ - максимум.